Time Reversed Absorbing Conditions

The aim of this paper is to introduce the time reversed absorbing conditions (TRAC) in time reversal methods. These new boundary conditions enable one to “recreate the past” without knowing the source which has emitted the signals that are back-propagated. This new method does not rely on any a priori knowledge of the physical properties of the inclusion. We prove an energy estimate for the resulting non-standard boundary value problem. Two applications to inverse problems are given. To cite this article : F. Assous, M. Kray, F. Nataf, E. Turkel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I +++++ (+++++). Résumé Conditions aux limites absorbantes retournées temporellement. Le but de ce papier est d’introduire les conditions absorbantes retournées temporellement (TRAC) dans les méthodes de retournement temporel. Elles rendent possible la “reconstruction du passé” sans connâıtre la source émettrice des signaux enregistrés puis rétropropagés. Cette nouvelle méthode ne nécessite pas de connaissance a priori des propriétés physiques de l’inclusion. Nous démontrons une estimation d’énergie pour le problème non standard obtenu. Deux applications aux problèmes inverses sont proposées. Pour citer cet article : F. Assous, M. Kray, F. Nataf, E. Turkel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I +++++ (+++++). Version française abrégée Email addresses: [email protected] (Franck Assous), [email protected] (Marie Kray), [email protected] (Frédéric Nataf), [email protected] (Eli Turkel). Preprint submitted to the Académie des sciences 29 juillet 2010 Depuis les premiers travaux de M. Fink et al [8], le retournement temporel est un sujet très actif de recherche. L’idée principale est de tirer parti de la réversibilité des phénomènes de propagation d’ondes, tels que l’acoustique, l’élasticité ou l’électromagnétisme, dans un milieu inconnu non dissipatif. On rétropropage alors les signaux vers les sources qui les ont émis. L’expérience initiale, cf. [8], consistait à refocaliser très précisément un signal enregistré ayant traversé un ensemble de barres métalliques disposées aléatoirement. L’élément remarquable est que le signal focalise précisément après être passé à nouveau à travers les barres métalliques aléatoirement disposées, bien que l’on ne connaisse pas la position de la source. Des applications numériques sont présentées dans [7] ainsi que dans ses références. De premières analyses mathématiques se trouvent dans [2] et [5]. On peut aussi “reconstruire le passé” à partir de mesures prises sur le bord retournées temporellement. Comme il est montré expérimentalement dans [6], il est nécessaire de connâıtre la source émettrice afin d’éviter un phénomène de diffraction limite. La même difficulté est encore mise en avant dans [10] lors de simulations numériques de séismes par retournement temporel des sismogrammes. La nouveauté de cet article est une méthode permettant de reconstruire le passé, sans connâıtre la source, en introduisant des conditions aux limites absorbantes retournées en temps (TRAC). Le principe de la méthode TRAC est le suivant : considérons une onde incidente qui arrive sur une inclusion D dans R . L’inclusion est caractérisée par des proriétés physiques différentes de celles du milieu ambiant supposé homogène, c= c0 dans R 3 \ D. Le champ total se décompose alors en un champ incident et un champ diffracté, soit u := u +u . Le problème satisfait par u est (1) et l’onde diffracté satisfait une condition de radiation de Sommerfeld à l’infini. Soit ΓR une surface délimitant le domaine Ω et englobant l’inclusion D et sur laquelle le champ total est enregistré jusqu’à un temps Tf . Après Tf le signal s’annule dans Ω. Notons uR := u T (Tf − t,x) le champ total retourné temporellement qui satisfait également (1). Nous utiliserons des notations similaires pour les champ incident et diffracté. Le but est de reconstruire le champ uR à partir des mesures enregistrées sur ΓR. Pour cela, nous introduisons un problème aux limites (BVP) dont uR est la solution. Nous ne connaissons ni les propriétés physiques ni la position de l’inclusion D, seulement les caractéristiques physiques du milieu ambiant. Par conséquent, nous introduisons un sous-domaine B entourant D (voir Figure 1). La difficulté est de déterminer la condition aux limites à imposer sur ∂B afin que la solution du nouveau problème cöıncide avec uR dans Ω\B. Pour cela, nous utilisons le fait que le champ diffracté u S vérifie (1) dans Ω\D et une condition de Sommerfeld à l’infini. Ainsi u satisfait une condition absorbante sur ∂B que nous approchons par (2). En retournant en temps cette condition, nous obtenons la condition absorbante retournée en temps TRAC (3), ce qui nous donne le BVP final (4) pour uR. La TRAC n’est plus la condition absorbante standard mais contient un terme anti-absorbant. Se pose alors la question du caractère bien posé du problème (4). Pour cela, nous démontrons une estimation d’énergie (6) pour une géométrie particulière, voir la proposition 3.1. Une application est de localiser l’inclusion D par essais successifs. A l’instant initial, u vaut zéro. Donc, si B entoure D, uR doit s’annuler aussi au temps final Tf qui correspond au temps initial du problème physique. De même, si en résolvant (4) uR est non nul en Tf , on en déduit que D n’est pas inclus dans B. Des résultats numériques générés avec le logiciel FreeFem++ [9] illustrent la méthode, voir figure 2. En conclusion, nous avons introduit la méthode TRAC qui permet de “recréer le passé” à partir de signaux enregistrés rétropropagés, sans connâıtre la source émettrice. Deux applications en problèmes inverses sont possibles : la reconstruction de la forme de l’inclusion à partir des mesures au bord et le principe de redatuming, voir [4]. Des tests sur les propriétés physiques de l’inclusion ont été effectués dans [1] pour l’équation des ondes et l’équation de Helmholtz. La méthode se révèle particulièrement robuste au bruit sur les données enregistrées.